Voy a intentar responderte, pero falta mucha información, que solo viendo el servidor se podría resolver.
En vez de URI::URL, es mejor usar URI.
En el primer código, estás construyendo la URL por medio de una función, en la línea 9:
$url->query_form(acciones='agdrfe');
pero lo correcto es hacerlo así:
$url->query_form(acciones => 'agdrfe');
Por eso, no sale luego cuando lo pintas en la línea 13.
Un detalle... las comillas que le ponemos en la línea 9, luego, el módulo URI, las quita en el URL, porque no forman parte de los caracteres que se pueden transmitir de forma directa (hay que codificarlas), aparte, del hecho importante de que se suelen usar para transmitir los valores de los argumentos. Si te fijas en la línea 2 del primer resultado, aparece variable=variable1, sin comillas, ya que no son necesarias.
En el segundo código, en la línea del POST (la 5), estás, incorrectamente, colocando unas comillas simples. Ya hemos dicho que nunca se ponen directamente en el URL. Lo correcto es:
my $req = POST 'http://www.loquesea.com/index.php&acciones=agdrfe',
(He puesto comillas simples en toda la URL porque veo que toda ella es una constante. Si, en cambio, 'agdrfe' fuese una variable Perl -por ejemplo, $accion-, habría que usar comillas dobles)
Lo mismo pasa en la línea 7 del último código: las comillas pueden ser la razón por la que diga que el URL no existe.
Otro detalle, el control de sesiones. En el primer ejemplo, parece que la sesión se controla con el parámetro sid en la URL, pero al mismo tiempo, en la respuesta, está solicitando la grabación de una cookie, donde te está indicando el identificador del servidor a usar. Entonces, además de resolver el problema de acceso, se te plantea el caso de que debes usar módulos que gestionen o envíen cookies.
Por defecto, LWP::UserAgent no usa la jarra de galletas, pero en este caso, sí que la necesitas. En el manual de LWP::UserAgent, viene la línea que debes poner si quieres activar la jarra de galletas:
$ua->cookie_jar({ file => "$ENV{HOME}/.cookies.txt" });
Con esto, se crea un fichero llamado .cookies.txt colgando del raíz de tu directorio principal, donde se guardarán las galletas que reciba y de donde saldrán, en las peticiones. Así, las cookies de sesión o configuración, se transmiten de forma automática.