Si los datos están cargados junto con el código HTML, no necesitas pulsar ningún botón. Te vale con recuperar el código HTML. Con
LWP::Simple es fácil.
Si los datos bajan, de forma dinámica, una vez cargada la página, habría que estudiar el tráfico que hace la hoja para descubrir la petición que se hace desde tu navegador hacia el servidor. Una vez que lo sepamos, pues lo mismo de antes, ya se puede bajar de forma directa con LWP::Simple. Los datos una vez bajados, quizás estén en formato XML o JSON, así que habrá que usar algún módulo para leerlos.
Si son datos que se generan en base a unos cálculos, pues a lo mejor no queda más remedio que pulsar el botón que dices. En unos casos, con
WWW::Mechanize se podría resolver, pero lo normal es que haya código JavaScript por detrás. Con
WWW::Mechanize::Plugin::JavaScript se podría intentar...
Como último recurso, podríamos manejar el Firefox a distancia usando el
WWW::Mechanize::Firefox, y así es como si realmente un humano estuviera usando la página.