Lo que me dice Google es que la biblioteca no está instalada en ninguna de las rutas conocidas por %PATH%, así que por eso, luego, el DBD::mysql no es capaz de encontrarla.
Lo primero que tienes que hacer es localizar el directorio en donde se encuentra.
Lo segundo, tienes dos opciones: O actualizas la variable de entorno de Windows %PATH% a la ruta donde se encuentra la biblioteca, o copias la biblioteca a alguna de las rutas indicadas por la variable %PATH%.
Para la primera opción he encontrado
este hilo, que dice que hay que agregar la ruta C:\strawberry\c\bin\ (donde se encuentra la biblioteca, a %PATH%.
Para la segunda opción,
este hilo comenta hacer
copy C:\strawberry\c\bin\libmysql_.dll to C:\strawberry\perl\vendor\lib\auto\DBD\mysql\libmysql_.dll (siempre y cuando la biblioteca esté en el primer sitio, y la segunda ruta esté agregada a %PATH%).
De todas maneras, fíjate que son soluciones del año 2010. No entiendo que en el 2013 siga saliendo el mismo error. En
un hilo de este año, comentan que se solucionó copiando la biblioteca al directorio
/strawberry/perl/vendor/lib/auto/DBD/mysql. En otros hilos se comenta que también se soluciona si se copia al mismo directorio donde se encuentra el ejecutable perl.exe. En realidad, todas estas soluciones se reducen a lo mismo: copiar la biblioteca a alguna de las rutas indicadas por %PATH%.